Metode Newton-Raphson

Newton-Raphson
Merupakan salah satu metode solusi penccarian akar suatu persamaan non-linier, yang memiliki ciri utama yaitu
memanfaatkan turunan dari sutau fungsi yang akan diselesaikan.

Algoritma Newton-Raphson:
1. Menentukan suatau persamaan non-linier / f(X).
2. memberikan nilai error toleransi(e) dan batasan pengulangan(ulang)
3. Memberikan nilai terkaan awal(X0)
4. mencari turunan dari persamaan non-linier tersebut / f(X)'.
5. mulai dari awal perulangan( j=1 sampai ulang  lakukan :
    a. hitung nilai f(Xj) jika nilai f(Xj) < e maka Xj merupakan solusi akar persamaan non-linier tersebut
    b. jika nilai f(Xj) > e maka hitung :
        Xj+1 = Xj - f(Xj) / f(Xj)'.
        b.1 hitung nilai f(Xj+1)
        b.2 jika nilai f(Xj+1) < e maka Xj+1 merupakan solusi akar persamaan
cotoh soal.
carilah solusi penyelesaian sistem persamaan non-linier berikut f(x) = X^3 + X^2 - 10 dengan nilai terkaan awal x = 1 dan e = 0,00001
jawab:
langkah 1 : f(x) =   X^3 + X^2 - 10;
langkah 2 : e = 0,00001;
langkah 3 : nilai terkaan awal x = 1;
langkah 4 : mencari turunan dari persamaan non-linier tersebut / f(X)' = f(x)' = 3X^2 + 2X;
langkah 5 a: f(1) = 1 + 1 - 10 = -8;
               b: tidak memenuhi nilai e,
    x1 = x - ( f(x) / f(x)' ) = 1 - -8/(3*(1) + 2*(1)) = 1 - 8/5 = -3/5
    hasil untuk penyelesaian ini saya sajikan dalam bentuk tabel
x(ke-)   x                          f(x)                       f(x)'
 0         1                          1                           5       
 1        2,6                        14,336                  25,48
 2        2,03736263736    2,60762612          16,52726482
 3        1,8795854            0,17311821          14,35769467
 4        1,867527882        0,0009641            14, 1980

jadi akar penyelesaian dari persamaan non-linier tersebut adalah x = 1,867527882.
catatan: membandingkan nilai f(x) terhadap nilai e (error toleransi ) bukan berarti membandingkan besar kecil tetapi berapa angka dibelakang koma untuk mendekati anggka nol.