Metode Biseksi

Metode Biseksi
Definisi
    Metode Biseksi merupakan metode yang digunakan untuk mencari akar dari suatu fungsi f(X) yang mendekati nol. Metode ini dilakukan dengan membagi dua interval ( mencari titik tengah) antara batas atas dan batas bawah yang telah diberikan pada suatu fungsi yang menjadi acuan untuk memperakuratkan akar dari suatu fungsi f(x) untuk mendekati nol.
Catatan:  X₁ =  batas atas, Xₒ = batas bawah, X₂ = titik tengah, formula untuk mencari titik tengah(X₂); X₂  =  (X₁ + Xₒ)/2.
    Berikut kemungkinan kemungkinan yang akan terjadi dalam menerapkan Metode Biseksi mencari akar dari suatu fungsi :
1.    Jika f(Xₒ) *f(X₂) <= 0 maka akar berada pada interval ( Xₒ , X₂) dan nilai X₁ diganti dengan nilai X₂.
2.    Jika f(Xₒ) *f(X₂) = 0 maka X₂ adalah akar dari suatu fungsi f(X).
3.    Jika f(Xₒ) *f(X₂) > 0 maka akar berada pada interval (X₂ , X₁ ) dan nilai Xₒ diganti dengan nilai X₂.
Untuk lebih memahami mengenai mengenai Metode Biseksi  mari kita kerjakan satu contoh soal. Diberikan suatu fungsi f(x)= X³ + X² - 3X -3 dengan X₁ = 2 dan Xₒ = 1. Kita akan mencari nilai X₁ dan Xₒ agar akar nantinya yang akan dihasilkan lebih akurat.
Berikut langkah – langkah pengerjaannya:
a.    Mencari nilai X₂
X₂ = (X₁ + Xₒ)/2 = (2 +1)/2 =1.5
b.    Mencari nilai dari f(Xₒ) dan f(X₂)
f(Xₒ) = f(1)= 1³ + 1² - 3(1) - 3 = 1 + 1 - 3 - 3 = -4
f (X₂) = f(1.5) = 1.5³ + 1.5² - 3(1.5) – 3 = 3.375 + 2.25 - 1.5 – 3 = -1.875
c.    Mengalikan nilai f(Xₒ) dan f(X₂) dan menentukan kondisi yang terpenuhi pada kemungkinan – kemungkinan Metode Biseksi
f(Xₒ) * f(X₂)  = -4 *-1.875 = 7.5
kondisi yang terpenuhi adalah kondisi yang ketiga yaitu f(Xₒ) * f(X₂)  > 0 maka nilai Xₒ digantikan oleh nilai X₂, kemudian ulangi lagi dari proses a (awal) sampai nilai f(Xₒ) * f(X₂)  = 0 atau Menheyelsaikan setelah melakukan beberapa loop atau pengulangan. Pada contoh ini kita cukup melakukan sampai tiga kali pengulangan.

d.    (Pengulangan pertama)Mengulangi lagi dari pencarian nilai X₂
Dimana nilai Xₒ = X₂ = 1.5
X₂ = (X₁ + Xₒ)/2 = (2 +1.5)/2 =1.75

e.    Mencari nilai dari f(Xₒ) dan f(X₂)
f(Xₒ) = f(1.5) = 1.5³ + 1.5² - 3(1.5) – 3 = 3.375 + 2.25 - 1.5 – 3 = -1.875
f (X₂) = f(1.75) = 1.75³ + 1.75² - 3(1.75) – 3 = 5.359375 + 3.0625 – 5.25 – 3 = 0.171875

f.    Mengalikan nilai f(Xₒ) dan f(X₂) dan menentukan kondisi yang terpenuhi pada kemungkinan – kemungkinan Metode Biseksi
f(Xₒ) * f(X₂)  = -1.875 * 0.171875 = -0.322265625
kondisi yang terpenuhi adalah kondisi yang pertama  yaitu f(Xₒ) * f(X₂)  < 0 maka nilai X₁ digantikan oleh nilai X₂, kemudian ulangi lagi dari proses a (awal).

g.    (Pengulangan kedua)Mengulangi lagi dari pencarian nilai X₂ dimana nilai X₁ = X₂ = 1.75 dan Xₒ = 1.5
X₂ = (X₁ + Xₒ)/2 = (1.75 +1.5)/2 =1,625

h.    Mencari nilai dari f(Xₒ) dan f(X₂)
f(Xₒ) = f(1.5) = 1.5³ + 1.5² - 3(1.5) – 3 = 3.375 + 2.25 - 1.5 – 3 = -1.875
f (X₂) = f(1.625) = 1.625³ + 1.625² - 3(1.625) – 3 = 4.291015625 + 2.640625 – 4.875 – 3 = -0,943359375
i.    Mengalikan nilai f(Xₒ) dan f(X₂) dan menentukan kondisi yang terpenuhi pada kemungkinan – kemungkinan Metode Biseksi
f(Xₒ) * f(X₂)  = -1.875 * 0,943359375 = -1.768798828125 kondisi yang terpenuhi adalah kondisi yang pertama yaitu f(Xₒ) * f(X₂)  < 0 maka nilai X₁ digantikan oleh nilai X₂, kemudian ulangi lagi dari proses a (awal).
j.    (Pengulangan ketiga)Mengulangi lagi dari pencarian nilai X₂ dimana nilai X₁ = X₂ = 1.625 dan Xₒ = 1.5
X₂ = (X₁ + Xₒ)/2 = (1.625 + 1.5) / 2 = 1,5625
k.    Mencari nilai dari f(Xₒ) dan f(X₂)
f(Xₒ) = f(1.5) = 1.5³ + 1.5² - 3(1.5) – 3 = 3.375 + 2.25 - 1.5 – 3 = -1.875
f (X₂) = f(1.5625) = 1.5625³ + 1.5625² - 3(1.5625) – 3 = 3.814697265625 + 2.44140625 – 4.6875 – 3 = -1.431396484375
l.    Mengalikan nilai f(Xₒ) dan f(X₂) dan menentukan kondisi yang terpenuhi pada kemungkinan – kemungkinan Metode Biseksi
m.    f(Xₒ) * f(X₂)  = -1.875 * 0,943359375 = -1.768798828125 kondisi yang terpenuhi adalah kondisi yang pertama yaitu f(Xₒ) * f(X₂)  < 0 maka nilai X₁ digantikan oleh nilai X₂, kemudian ulangi lagi dari proses a (awal).
Dari langkah langkah tersebut didapat hasil
X₁    Xₒ
2    1
2    1.5
1.75    1.5
1.625    1.5

Algoritma/pseudocode Metode Biseksi

PROGRAM AplikasiMetodeBiseksi
{program untuk menerapkan metode biseksi dalam mencari akar suatu fungsi}
DEKLARASI :
X^3, X^2, X, C : integer;{variabel untuk menampung nilai dari variabel fungsi}
X1, X0, X2, hasilkali: single; {variabel untukmenampung batas atas,bawah dan titik tengah}
Fx0,Fx2: single; {variabel untuk menampung nilai fungsi f(xo) dan f(x2)}
ALGORITMA :
Write  (“Masukan nilai x^3 :”);
Write  (“Masukan nilai x^2 :”);
Write  (“Masukan nilai x:”);
Write  (“Masukan nilai C :”);
Write  (“Masukan nilai X1 :”);
Write  (“Masukan nilai X0 :”);
Write  (“Masukan nilai X2 :”);
Read  (x^3);
Read  (x^2);
Read  (x);
 Read  (C);
Read  (X1);
Read  (X0);
Read  (X2);
X2 :=  (X1 + X0)/2;
Fx0 := ((X0*X0*X0) + (X0*X0) - (3*X0) – C);
Fx2 := ((X2*X2*X2) + (X2*X2) - (3*X2) – C);
Hasilkali := Fx0 * Fx2 ;
Writeln (“Nilai X1”);
Writeln (X1);
Writeln (“Nilai X0”);
Writeln (X0);
If  hasilkali <= 0 then
    If  hasilkali = 0 then
    Writeln(“akar dari fungsi tersebut adalah”,X2);
 else
    X0 :=X2;
    Go to Label;
Else
    X1:=X2;
    Go to label;
   

Flow Chart Metode Biseksi